1.数学建模的目录

2.数学建模问题

3.初中生的数学建模活动包含哪些步骤

4.数学建模的建模题目

5.急！急！急！数学建模的两个题，有重分奖励！！！！

6.数学建模模拟多种情况

7.数学建模竞赛的目录

8.数学建模的方法有哪些？

本题主要目的是建立相关模型解决在修建水渠过程中的诸多问题，从而实现

工程量最优化。

针对问题一，为了求得开掘水渠的土石方量，本文通过对段三次

Hermite 插值与三次样条插值，最终用分段三次 Hermite 插值的方法对已知数 据点进行插值拟合，得到关于水渠的曲线方程 y f x ? ，对水渠曲线方程积分即

得到水渠长度 14550 7650 21 dx yL ,利用 MATLAB 求解得到水渠长度为： m 5.7522 。

因此最终解得开掘水渠的总土石方量为： 3 m135405LSV ? 。

针对问题二，在问题一的基础上，本文建立积分上限函数模型：令 7650 a? ，

1x 满足 1 2 1

6

x

a

V

S y dt ? ，求出 i x 后， 1 ix ? 满足 1 2 1

6

i

i

x

x

V

S y dt ，从而将

总土石方量的六等分，得到 7 .8736x 1 ? ， 2 .9862x 2 ? ， 10956 x3 ? ， 12116 x4 ? ，

13353x 5 ? ，进而确定了六等分点的坐标 y,x 。

针对问题三，设在沿水渠的公路上有三个变量，分别为 k ji x ,x,x ，为使得

运输工作量最小，本文建立了无约束规划模型，利用 MATLAB 求解得到最小运输

量为 4 81027.7 m ? 。并给出了修建两条公路时水渠上的位置坐标 7.5167,9296B 和 4.388811683C ， 。

关键词：Hermite 插值 MATLAB 积分上限函数 无约束规划

一、问题重述

在某地区开掘水渠，已知该水渠经过的若干点。

问题一，求解水渠施工的总石方量；

问题二，如果将水渠的分成 6 截，每截土石方量相同，分段点应该取在何位

置；

问题三，设平行于水渠修一条路。河道中挖出的土石方要运往 A(9500,4000)

处为了方便运输，在沿水渠的公路上选择两点修建通往 A 处的临时公路，使

得总的土石方运输工作量最小。

二、问题的分析

针对问题一，本题要求开掘水渠的总土石方量，已知水渠截面积，则主要目

的在于求得水渠长度。已知水渠经过的若干点的位置，要得到水渠的长度，本文

想到用插值拟合可以得到水渠曲线，对曲线积分则得到水渠长度。插值与拟合的

方法有多种，样条插值会较光滑，但不一定能保持原有形状，考虑到要更好的保

持水渠的形状，于是，本文选用 Hermite 方法进行插值拟合。

针对问题二， 要将水渠六等分且每段的土石方量相同，此问题为函数的反

解问题，因此，在已知水渠曲线函数的情况下，本文可以考虑到用积分上限函数

求解，从而确定 x 点，进而得到 y 点。

针对问题三，要修建公路以运输土石方，从而使运输量工作量最小。此问题

为规划问题，在问题二中，本文已知 x 与土石方量 V 存在关系，又因为运输工作

量等于土石方量与距离的乘积，因此，本文使用无约束规划模型，求工作量最小

值即可。

三、模型设

1、修建的两条临时公路为直线。

2、沿水渠的公路函数曲线近似与水渠的曲线函数相同。

四、符号说明 xf 水渠曲线方程

V 土石方量

S 水渠截面积 L 水渠长度

ix 水渠上点的横坐标

iy 水渠上点的纵坐标

iW 土石方运输工作量

1L 临时公路 2L 临时公路

五、模型的建立与求解

5.1 问题一

5.1.1 插值与拟合

由已知水渠经过的点，做出散点图（图 1）

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 10 4

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

X/m

Y/m

水渠散点图

图 1.水渠散点图

方法 1、利用 Hermite 方法对已知数据点进行插值。 3 设 已 知 函 数 xfy ? 在 1 n? 个互异节点 n 10 x ,L,x,x 上 的 函 数 值 ii xfy ? n,L,1,0i ? 和导数值 i ' i ' x fy ? ，要求一个至多 2 n +1 次的多项 式 xH ，使得 i i yxH ? i ' i ' y xH ? n,1,0i Hermite 插值多项式为： ? ? 2 ' i i i i i i H x h x x a y y y ?

其中，

2

n

ij 0j j i

j i x x xx h ， ? n ij 0j j i i x x 1 a 。

利用 MATLAB 进行插值，得到插值曲线（图 2）。

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 10 4

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

Hermite插值曲线与原始数据点

X/m

Y/m

Hermite插值曲线 原始数据点

图 2.Hermite 插值曲线与原始数据点

方法 2、利用样条差值对已知数据点进行插值。 3

定义样条函数：

数学上将具有一定光滑性的分段多项式称为样条函数。具体的说，给定区间 a,b 的一个划分

0 1 1nn :a x x x x b

如果函数 () sx满足： 1. 在每个小区间 1 , ( 0,1, , 1) ii x x i n ? 上 () sx是k 次多项式；

2. () sx在 a,b 上具有 1 k? 阶连续导数。

则称 () sx为关于划分?的k 次样条函数，其图形称为k 次样条曲线。 01 , , , n x x x 称

为样条节点， 1 2 1 , , , n x x x ? 称为内节点， 0, n xx称为边界点，这样样条函数的全体

记作 ( , ) p Sk ? ，称为k 次样条函数空间。

显然，折线是一次样条曲线。

若 ( ) ( , ) p s x S k ，则 () sx是关于分划?的k 次多项式样条函数。k 次多项式

样条函数的一般形式为

1

01 ( ) ( ) !! i kn j ki kj ij x s x x x ik ?

其中 ( 0,1, , ) i ik 和 ( 1,2, , 1) j jn ? 均为任意常数，而

( ) , ( ) , ( 1,2, , 1) 0, k jjk j j x x x x x x j n xx 本文使用 3 k ? 的情况：即为三次样条函数。 三次样条函数：对于 a,b 上的划分 0 1 1nn :a x x x x b ，则

1 2 3 3 32

3 0 1

1 ( ) ( ) ( ,3) 2! 3! 3! n j jp j aa s x x x x x x S ?

其中

3 3 ( ) , ( ) , ( 1,2, , 1) 0, jj j j x x x x x x j n xx

三次样条函数差值：

由于 3( ) ( ,3) ps x S中含有 3 n? 个待定系数，故应需要 3 n? 个插值条件，已

知插值节点 i x 和相应的函数值 ( ) ( 0,1,2, , ) ii f x y i n ，这里提供了 1 n? 个条件，

还需要 2 个边界条件。

常用的三次样条函数的边界条件有 3 中类型：

（1） 3 0 3 ( ) , ( ) n s a y s b y 。由这中边界条件建立的样条插值函数称为 () fx的

完备三次样条插值函数。

特别的， 0'0 n yy ? 时，样条曲线在端点处呈水平状态。

如果 () fx ? 不知道，可以要求 3() sx ? 与 () fx ? 在端点处近似相等。这时以

0 1 2 3 , , , x x x x 为节点作一个三次 Newton 插值多项式 () a Nx，以 1 2 3 , , , n n n n x x x x ? 作一

个三次 Newton 插值多项式 () b Nx，要求

( ) ( ), ( ) ( ) ab s a N a s b N b

由这种边界条件建立的三次样条称为 () fx的 Lagrange 三次样条插值函数。

（2） 3 0 3 3 ( ) , ( ) s a y s b y 。特别的 0 nn yy 时，称为自然边界条件。

（3） 3 3 3 3 ( 0) ( 0), ( 0) ( 0) s a s b s a s b ，（这里要求 33 ( 0) ( 0) s a s b ? ）

此条件称为周期条件。

利用 MATLAB 进行三次样条插值，得到插值曲线（图 3）。

0.8 0.9 1 1.1 1.2 1.3 1.4 x 10 4

2000

2500

3000

3500

4000

4500

5000

5500

6000

6500

7000

X/m

Y/m

三次样条插值曲线与原始数据点

三次样条插值曲线 原始数据点

图 3.三次样条插值曲线与原始数据点

Hermite 插值与三次样条插值的对比

5

:

SPLINE 提供的函数 s(x)的构建方法和 PCHIP 里面的函数 p(x)完全相同，只

O x

y

0 AM ?

1M

2M

1nM ?

n BM ?

图 4

不过在 X(j)处的斜率的选择方法不一样，

SPLINE 函数的 s(x)在 X(j)的二阶导数 D^2s(x)也是连续的，这导致了如下

结果：

（1） SPLINE 更加光滑，即，D^2s(x)是连续的。

（2） 如果数据是一个光滑函数的值，则 SPLINE 更加精确。

（3） 如果数据不是光滑的，则 PCHIP 没有 overshoots，也不太震荡。

（4） PCHIP 建立的难度较小。

（5） 这两种函数估计的难度是一样的。

三次样条比 Hermite 插值光滑，样条的两阶导数连续，而 Hermite 插值一阶

导数连续。不连续的两阶导数隐含着不连续的曲率。人的眼睛可以检测出图形上

曲率的不连续。另一方面，Hermite 插值是保形状的，而样条插值不一定保形状。

通过对比 Hermite 插值与三次样条插值，针对本题并无明显差异。为了更好

的保证图形形状，减小误差，本文用 Hermite 插值。

5.1.2 求解水渠长度

圆的周长可以利用圆的内接正多边形的周长当边数无限增多时的极限确定。

类似的方法，可以用来建立平面连续曲线的弧长，应用定积分来计算弧长。

设 AB 、 是曲线弧的两个端点。在弧 AB 上以此取分点：

0 1 2 1 1 , , , , , , , , i i n n A M M M M M M M B ，并以此连接相邻分点得一折线（图

4）。

当分点的数目无限增加且每小段 1ii MM ? 都缩向一点时，如果此折线的长

1

1

n

ii

i

MM ? 的极限存在，则称此极限为曲线弧 AB 的弧长，并称此曲线弧 AB 是

可求长的。

由于光滑曲线弧是可求长的，故可应用定积分来计算弧长。

设曲线弧由参数方程：

() , () xt t yt ? ? ?

给出，其中 ( ), ( ) tt 在 ,

上具有连续导数，且 ( ) ( ) tt 、 不同时为零，现计

算该曲线弧的长度。 取参数t为积分变量，它的变化区间为 ,

。相应于 ,

上任一小区间

, t t dt ? 的小弧段的长度 s ? 近似等于对应的弦的长度 22 ( ) ( ) xy ? ，因为

( ) ( ) ( ) x t dt t dx t dt ? ?

( ) ( ) ( ) y t dt t dy t dt ? ?

所以， s ? 的近似值（弧微分）即弧长元素为

2 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ds dx dy t dt t dt t t dt

于是所求弧长为

22 ( ) ( ) s t t dt ?

当曲线弧由直角坐标方程

( ) ( ) y f x a x b ?

给出，其中 () fx在 , ab上具有一阶连续导数，这时曲线弧由参数方程

()

() xx

a x b

y f x ?

从而所求的弧长为

21b a s y dx ? ?

利用插值后得到的水渠的曲线函数，对其进行积分，则为水渠长度。 14550 7650 21 dx yL 用 MATLAB 求解得到 m 5.7522?L

5.1.3 求解土石方量

已知，水渠长度，水渠截面积。

则：

2 m1822810S ?

3m135405LSV ?

5.2 问题二

设函数 () fx在区间 , ab上连续，并且设x为 , ab上的一点。观察 () fx在部 分区间 , ax上的定积分

()

x

a f x dx?

首先，由于 () fx在 , ax上依旧连续，因此该定积分存在。这里，x即表示

定积分的上限，又表示积分变量。因为定积分与积分变量的记号无关，所以，为

了明确起见，可以吧积分变量改用其他符号，例如用t表示，则上面的定积分可

以写成

()

x

a f t dt?

如果上限x在区间 , ab上任意变动，则对于每一个取定的x值，定积分有一 个对应值，所以它在 , ab上定义了一个函数，记作 () x? ：

( ) ( ) ( ) x a x f t dt a x b ?

() x? 便为积分上限函数。

本文针对问题二建立积分上限函数模型：

21

6

x

a

V

S y dt ? 通过起点a作为积分下限，求得第一个积分上限，即第一个等分点，第一个

等分点为积分下限，求得第二个积分上限，即第二个等分点，以此类推。改变积

分上下限，确定5个等分点，将水渠六等分，且每段土石方量相同。

利用 MATLAB 求解（见附录 8.2），得到等分点坐标为： 4.5214,7.8736 ， 2.47,2.9862 ， 6.4110956 ， ， 2.3730,12116 ， 3540,13353

且每段的土石方量为： 3 m8.1253

5.3 问题三 由问题二知土石方量 V 与水渠曲线函数存在关系。首先建立 xFV ? 模型。

设在沿水渠的公路上有三个变量为 k ji x ,x,x ，修建的临时公路需要保证运输工

作量最小，因此，在 D 点左边开掘水渠的土石方均运到 B 处，在 D 右边开掘水渠

的土石方都运往 C 处。最终将土石方由 B、C 两处运往 A 处（示意图见图4）

y = f(x)

（xk）

（xj）D

（xi）

L2

L1

A

C

B

图4.水渠临时公路修建示意图

运输工作量等于土石方量乘以距离，因此对于水渠曲线上的运输工作量本文

建立的模型为：

以 i 0 x ~x 段为例，设：该段水渠长度为

n L L,L i 0 i0

，该段土石方量为

n SL

n V V,V i 0i0 i0 ?

，

则：

)LnL(V)L2L(V)LL(VW i0i0i0i0

)n21(LVVLn i0 ? ?

n2 1n

LV

当 ? i 0 i 0 x x

2

x

x

2 i0 dx y1dxy1S 2 1 LV 2 1 W,n

同理可得 1 kjkij W,W,W

则：

iji01kjk1 WWWWW

14550 14550 2 2 2 2 11 1 1 1 1 22 kk j j k k xx x x x x S y dx y dx S y dx y dx j i j i ii x x 2x x 2x 7650 2x 7650 2 dx y1dxy1S 2 1 dxy1dxy1S 2 1 对于由 B、C 两点运往 A 处的运输工作量本文建立的模型为：

2 0k 2 0k 14550 x 22 0i 2 0i

x

7650

2 2 y yxxdxy1Syyxxdxy1SW

j

j

要使运输工作量最小，即 1 W 、 2 W 之和达到最小，因此，本文建立无约束规

划模型： kji2kji1 x,x,xWx,x,xWMin ?

即：

? ? ? ? 2 0i 2 0i x 7650 2 2x x 2 2x 7650 2 y yxxdxy1dxy1 2 1 dxy1 2 1 Min j j i i

? ?

? 2 0k 2 0k 14550 x 2 214550 x 2 2 x x 2 y yxxdxy1dxy1 2 1 dxy1 2 1 jk k j

运用 MATLAB 求解得：（程序代码见附录 8.3）

最小运输工作量为： 4 81027.7 m ? B、C 两点的坐标为： 7.5167,9296B 和 4.388811683C ， 。

六、模型的优缺点

优点：

1、 通过对比 Hermite 插值与三次样条插值，发现求得的水渠长度分

别为 7522.5m 和 7524.1m，对本题无明显差异。

2、 对于运输量的规划问题，准确的反应了最优解。

缺点：

1、 对于插值函数的曲线积分，近似了曲线的导数，存在一定误差。

2、 规划问题的运算量较大。利用 MATLAB 算法优势不明显。

数学建模的目录

数学建模在未来的发展方向和趋势是多方面的。首先，随着大数据时代的到来，数据量呈现爆炸式增长，对数据的处理和分析提出了更高的要求。因此，数学建模在数据分析、机器学习和人工智能等领域的应用将得到更广泛的关注和发展。

其次，随着社会的发展，人们对于环境保护、利用和可持续发展等问题的关注度不断提高。数学建模在这些领域的应用将有助于解决环境问题、优化配置和推动可持续发展。例如，通过建立数学模型来预测气候变化、评估能源消耗和制定环境保护政策等。

此外，随着科技的进步，数学建模在工程、金融、医疗等领域的应用也将得到进一步的发展。例如，在工程领域，数学建模可以用于优化设计、模拟实验和预测系统行为；在金融领域，数学建模可以用于风险管理、资产定价和投资决策；在医疗领域，数学建模可以用于疾病预测、药物研发和个性化治疗等。

最后，随着全球化的加深，国际合作和交流变得越来越重要。数学建模作为一种通用的语言和工具，将在国际合作中发挥更大的作用。例如，通过建立数学模型来研究全球气候变化、传染病传播和国际贸易等问题，促进各国之间的合作与交流。

数学建模问题

第1章数学建模概论

1.1数学建模与创新教育

1.2数学建模的基本概念及建模实例

1.2.1数学建模的基本概念

1.2.2一些建模实例

1.3建立数学模型的常用方法及步骤

练习题一

第2章日常生活中的数学模型

2.1人在雨中行走淋雨量的数学模型

2.2**院的优化问题

2.3一种惊险杂技的设计

2.4购房还贷问题

2.5彩虹的成因

2.6人员疏散问题

2.7双层玻璃的功效

2.8广告的费用及其效应的经验模型

2.8.1经验模型及参数估计

2.8.2广告的费用及其效应的经验模型

练习题二

第3章微分方程模型

3.1发射登月体的数学模型

3.2人口增长的微分方程模型

3.3放射性废物的处理

3.4传染病的微分方程模型

3.5减肥的数学模型

3.6滑滑板最优设计的数学模型

3.7湖水的污染问题

3.8与战争有关的几个数学模型

3.8.1战略核武器杀伤力的数学模型

3.8.2理查森军备竞赛理论

3.8.3战争胜负的数学模型

练习题三

第4章最优化模型

4.1最优化方法初化

4.1.1二维最优化问题的图解法

4.1.2松弛变量法

4.1.3惩罚函数法

4.1.4单纯形法

4.1.5分枝定界法

4.2河水的污染与净化

4.3营养配餐问题

4.4最优投资问题

4.5生产和库存最优模型

练习题四

第5章初等概率模型

5.1概率论基础及应用举例

5.1.1基本概念

5.1.2随机变量及其分布

5.1.3随机变量的两个数字特征

……

第6章图论初步及其应用

第7章层次分析法及其应用

练习题参考解答或提示

参考文献

初中生的数学建模活动包含哪些步骤

超市员工安排及运营问题

摘要

在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有着显着的不同，从而主管单位在不同的时段雇佣工作人员的人数往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量减少劳务开支是管理者必须思考的决策问题。

本文我院某校内超市员工安排问题为例，据已给定的各个时间段所需的服务员人数和两个班次与休息时间安排表、职员工资及其他给定的限制，建立整数规划优化模型，得出最优安排，使得既满足超市对职工的需要，又使超市的劳务开支最少。另外本文进一步讨论在已有班次的基础上，对增加更多的班次后的人员安排及劳务支出的变化，以便此超市根据最少的劳务开支做出最优选择。由问题给出的时间和班次安排表，在8：00——17：00和12：00——21：00中每隔一个小时安排吃饭时间，根据班次安排的人数列出线性不等式，根据月支出来列出目标函数，然后设计线性规划模型，用LINGO.8解出人数和最优劳务支出。由此解决了本问题要讨论的最少人数和最优劳务支出。

关键词：优化设计，劳务开支，临时员工安排。

一?问题重述

在一些大型服务机构中，不同的时间段内需要的服务量有显著的不同。例如，交通管理人员、医院医护人员、宾馆服务人员、超市卖场营销人员等。在不同的时段劳务需求量不同，主管单位在不同时段雇佣的临时职工数量往往也不同。因此对于既要满足需要，又要尽量节约劳务开支是管理者必须思考的决策问题。现就我院校内某超市临时员工的班次安排问题建立一个数学模型来进行优化设计，使其既满足超市的营业需要，又能够使超市的劳务开支最少。

超市的营业时间为11：00到22：OO，根据学生的购买情况，以一小时为一时段，各时段内所需的服务人员数如表1。此超市员工由临时工和正式员工构成，正式职工两名，主要负责管理工作，每天需要工作8小时，临时工若干名，每天工作4小时。已知一名正式员工11：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时；另一名正式职工13：00开始上班，工作4小时后休息1小时，而后再工作4小时,工作、休息时间安排如表2。又知临时工每小时工资为4元。

序号?时间区最少需求人数

1　　11：00－12：00?9

2?12：00－13：00?9

3?13：00－14：009

414：00－15：003

515：00－16：00?3

6?16：00－17:?00?3

7?17:?00－18:?00?6

8?18:?00－19:?00?12

9?19:?00－20:?00?12

1020:?00－21:?00?7

1121:?00－22:?00?7

表2

班次?工作时间?休息时间

111：00－20：00?12：00－13：00

213：00－22：00?17：00－18：00

二．符号说明

符号说明如下：

Min表示公司劳务开支的最少值；

Xi表示在第i时段该超市使用的临时工人数，i=1，2，…,11；

三．问题设

（1）以一小时为一时段，设一小时内的任意时刻所需人数都要大于等于这一时段的最少需求人数。

（2）工作人员的工资每小时与他所在工作时段无关，与他的表现好坏等无关。

（3）设正式员工在工作时段里不会中途退出。

（4）每个临时员工可在任一时段开始时上班，但要求必须连续工作4小时。

四.问题分析

1．1问题1分析

该问题中超市安排了二个班次来分配正式员工，目标是在满足超市需求的前提下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。

1．2模型建立

因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为：

Min?16*(?y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+?y9+y10+y11)

在11：00—12：00时间段内，只有Y1个人在工作，得：

y1>=8

在12：00—13：00时间段内，有Y1+Y2个人在工作，得：

y1+y2>=8

在13：00—14：00时间段内，有Y1+Y2+Y3个人在工作，得：

y1+y2+y3>=7

在14：00—15：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4个人在工作，得：

y1+y2+y3+y4>=1

在15：00—16：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5个人在工作，得：

y2+y3+y4+y5>=2

在16：00—17：00时间段内，Y1+Y2个人已下班，有Y3+Y4+Y5+Y6个人在工作，得：

y3+y4+y5+y6>=1

在17：00—18：00时间段内，Y1+Y2+Y3个人已下班，有Y4+Y5+Y6+Y7个人在工作，得：

y4+y5+y6+y7>=5

在18：00—19：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4个人已下班，有Y5+Y6+Y7+Y8个人在工作，得：

y5+y6+y7+y8>=10

在19：00—20：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5个人已下班，得：

y6+y7+y8+y9>=10?

在20：00—21：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5+Y6个人已下班，得：

y7+y8+y9+y10>=6

在21：00—22：00时间段内，Y1+Y2+Y3+Y4+Y5?+Y6?+Y7个人已下班，得：

y8+y9+10y+y11>=6

由以上分析可构成一个整数线性规划模型，即：

目标函数为：

Min?16*(?y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+?y9+y10+y11)

整数现性方程的约束条件为：

y1>=8

y1+y2>=8

y1+y2+y3>=7

y1+y2+y3+y4>=1

y2+y3+y4+y5>=2

y3+y4+y5+y6>=1

y4+y5+y6+y7>=5

y5+y6+y7+y8>=10

y6+y7+y8+y9>=10

y7+y8+y9+y10>=6

y8+y9+10y+y11>=6

y1，y2，y3，y4，y5，y6，y7，y8，y9，y10，y11均为整数且均大于零。

1.3?模型求解

将上述的整数线性规划模型输入LINGO?8.0，：

Model:

min=16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);

y1>=8;

y1+y2>=8;

y1+y2+y3>=7;

y1+y2+y3+y4>=1;

y2+y3+y4+y5>=2;

y3+y4+y5+y6>=1;

y7+y6+y4+y5>=5;

y5+y6+y7+y8>=10;

y9+y6+y7+y8>=10;

y10+y9+y8+y7>=6;

y11+y10+y9+y8>=6;

@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);

end

求解可以得到最优解如下

Global?optimal?solution?found?at?iteration:?7

Objective?value:?320.0000

Variable?ValueReduced?Cost

X18.00000016.00000

X20.00000016.00000

X30.00000016.00000

X40.00000016.00000

X52.00000016.00000

X64.00000016.00000

X70.00000016.00000

X86.00000016.00000

X90.00000016.00000

X100.00000016.00000

X110.00000016.00000

RowSlack?or?Surplus?Dual?Price

1320.0000-1.000000

20.0000000.000000

30.0000000.000000

41.0000000.000000

57.0000000.000000

60.0000000.000000

75.0000000.000000

81.0000000.000000

92.0000000.000000

100.0000000.000000

110.0000000.000000

120.0000000.000000

临时工班次安排如下表

由此可知，原题目中当第1班次上班的临时工作人员人数为8，第5班次上班的临时工作人员人数为2，第6班次上班的临时工作人员人数为4，第8班次上班的临时工作人员人数为6，第2、3、4、7、9、10、11班次不安排临时工上班时，我们可以得出此超市的开支最少，最少值为320元。

二．符号说明

Xi表示在第i时段该超市使用连续工作3小时的临时工人数，i=1，2，…,11；

Yi表示在第i时段该超市使用连续工作4小时的临时工人数，i=1，2，…,11；

Min表示超市劳务开支的最少值；

2.1?问题2分析

现?临时工每班工作可以为3小时，也可以为4小时，：

目标仍然是：在满足超市需求的下使超市雇用临时工的成本最小（也就是劳务开支最少）。进一步讨论对11点至20点和13点至22点分别安排更多班次其劳务支出的变化，既雇用临时工数量与班次的安排。

2．2模型建立

因每人每小时的工资已给定，结合表三故可得目标函数为：

min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);

在11：00—12：00时间段内，只有Y1+X1工作，得：

y1+x1>=8;

在12：00—13：00时间段内，有Y1+Y2+?X1+X2个人在工作，得：

y1+y2+x1+x2>=8;

在13：00—14：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+?X1+X2+X3个人在工作，得：

y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;

在14：00—15：00时间段内，有Y1+Y2+Y3+Y4+?X2+X3+X4个人在工作，得：

y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;

在15：00—16：00时间段内，Y1个人已下班，有Y2+Y3+Y4+Y5+X3+X4+X5个人在工作，得：

y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;

在16：00—17：00时间段内，有Y3+Y4+Y5+Y6+X5+X6+X4个人在工作，得：

　y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;

在17：00—18：00时间段内，有Y4+Y5+Y6+Y7+X7+X6+X5个人在工作，得：

y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;

在18：00—19：00时间段内，有Y5+Y6+Y7+Y8+X7+X6+X8个人在工作，得：

y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;

在19：00—20：00时间段内，仍有Y9+?Y8+Y7+?Y6+X7+?X9+X8个人在工作，得：

y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;

在20：00—21：00时间段内，仍有Y10+Y9+Y8+Y7+X10+X9+X8个人在工作，得：

y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;

在21：00—22：00时间段内，

得：y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;

由以上分析可构成一个整数线性规划模型，即：

目标函数为：

min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);

整数现性方程的约束条件为：

y1+x1>=8;

y1+y2+x1+x2>=8;

y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;

y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;

y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;

y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;

y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;

y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;

y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;

y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;

y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;

x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，x8，x9，x10，x11,y1,y2,y3,y4,y5,y6,y7,y8,y9,y10,y11均为整数且均大于零。,

2.3?模型求解

将下面的模型输入LINGO?8.0，：

Medol:

min=12*(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10+x11)+16*(y1+y2+y3+y4+y5+y6+y7+y8+y9+y10+y11);

y1+x1>=8;

y1+y2+x1+x2>=8;

y1+y2+y3+x1+x2+x3>=7;

y1+y2+y3+y4+x2+x3+x4>=1;

y2+y3+y4+y5+x3+x4+x5>=2;

y3+y4+y5+y6+x5+x6+x4>=1;

y7+y6+y4+y5+x7+x6+x5>=5;

y5+y6+y7+y8+x6+x7+x8>=10;

y9+y6+y7+y8+x9+x7+x8>=10;

y10+y9+y8+y7+x10+x9+x8>=6;

y11+y10+y9+y8+x11+x10+x9>=6;

@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);@gin(x5);@gin(x6);@gin(x7);@gin(x8);@gin(x9);@gin(x10);@gin(x11);@gin(y1);@gin(y2);@gin(y3);@gin(y4);@gin(y5);@gin(y6);@gin(y7);@gin(y8);@gin(y9);@gin(y10);@gin(y11);

end

求解可以得到最优解如下

Global?optimal?solution?found?at?iteration:11

Objective?value:?264.0000

VariableValueReduced?Cost

X18.00000012.00000

X20.00000012.00000

X31.00000012.00000

X40.00000012.00000

X51.00000012.00000

X60.00000012.00000

X74.00000012.00000

X80.00000012.00000

X90.00000012.00000

X100.00000012.00000

X110.00000012.00000

Y10.00000016.00000

Y20.00000016.00000

Y30.00000016.00000

Y40.00000016.00000

Y50.00000016.00000

Y60.00000016.00000

Y70.00000016.00000

Y86.00000016.00000

Y90.00000016.00000

Y100.00000016.00000

Y110.00000016.00000

RowSlack?or?Surplus?Dual?Price

1264.0000-1.000000

20.0000000.000000

30.0000000.000000

42.0000000.000000

50.0000000.000000

60.0000000.000000

70.0000000.000000

80.0000000.000000

90.0000000.000000

100.0000000.000000

110.0000000.000000

120.0000000.000000

我们可以得出此超市的劳务开支最少，最少值为264元。

六?参考文献

1本模型中整数线性优划模型1来自，姜启源、谢金星、叶俊.?数学模型[M].?北京:高等教育出版社，2003.8.

2本模型中目标函数[2]来自，

附录（程序）

Model:

Min=1200*(X1+X2)+1500*(X3+X4);

x1+x2>=30;

x1+x2>=35;

x1+x3+x4>=20;

x2+x3+x4>=20;

x1+x2+x3+x4>=40;

x1+x2+x4>=30;

x3>=30;

x3+x4>=25;

x3+x4>=20@gin(x1);@gin(x2);@gin(x3);@gin(x4);

end

数学建模的建模题目

初中生的数学建模活动包含步骤如下：

1、理解问题：首先，你需要明确和理解实际问题的本质。这需要你具有对问题的敏感性和对数学概念的理解。抽象和简化问题：接着，你需要将实际问题抽象成数学问题。这通常涉及到将问题的主要因素从次要因素中分离出来，并对其进行简化。

2、建立模型：一旦你理解了问题并抽象出其主要特征，你就可以建立数学模型了。这可能涉及到各种数学工具和技巧，例如代数、几何、概率等。求解模型：使用你熟悉的数学工具来解决建立的模型。这可能包括代数方程、微积分、统计等。

3、验证和修正模型：最后，你需要验证模型的准确性，并根据实际情况对模型进行修正。这通常涉及到将模型的解与实际问题的结果进行比较。

4、生活背景：在解一次函数时，可以通过设置不同的生活背景，引导自主探究，合作交流，培养学生的数学建模意识，实现知识的构建。多向思维：注重多向思维，拓宽学生建模思路。

数学建模的概念及相关知识

1、数学建模是指将实际问题抽象成数学模型，并通过对模型的分析和计算来解决实际问题的过程。它是现代科学和工程领域中广泛应用的一种方法，也是解决复杂问题的重要手段之一。

2、数学建模的应用范围广泛，涵盖了自然科学、社会科学、工程技术等各个领域。例如，在物理学中，数学建模可以用来描述物理现象和预测未来的发展；在经济学中，数学建模可以用来分析市场供求关系和预测经济走势；在工程学中，数学建模可以用来设计和优化产品结构和工艺流程等。

3、虽然数学建模具有很多优点和应用价值，但它也存在一些挑战和困难。例如，建立准确的数学模型需要具备深厚的数学知识和技能；同时，由于实际问题的复杂性和不确定性，模型的求解和分析也可能存在误差和不确定性。

急！急！急！数学建模的两个题，有重分奖励！！！！

1992年

(A) 施肥效果分析问题(北京理工大学：叶其孝）

(B) 实验数据分解问题（华东理工大学：俞文此; 复旦大学：谭永基）

1993年

(A) 非线调的频率设计问题（北京大学：谢衷洁）

(B) 足球排名次问题（清华大学：蔡大用）

1994年

(A) 逢山开路问题（西安电子科技大学：何大可）

(B) 锁具装箱问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）

1995年

(A) 飞行管理问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）

(B) 天车与冶炼炉的作业调度问题（浙江大学：刘祥官,李吉鸾）

1996年

(A) 最优策略问题（北京师范大学：刘来福）

(B) 节水洗衣机问题（重庆大学：付鹂）

19年

(A) 零件参数设计问题（清华大学：姜启源）

(B) 截断切割问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）

1998年

(A) 投资的收益和风险问题（浙江大学：陈淑平）

(B) 灾情巡视路线问题（上海海运学院：丁颂康） 1999年

(A) 自动化车床管理问题（北京大学：孙山泽）

(B) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）

(C) 煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）

(D) 钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）

2000年

(A) DNA序列分类问题（北京工业大学：孟大志）

(B) 钢管订购和运输问题（武汉大学：费甫生）

(C) 飞越北极问题（复旦大学：谭永基）

(D) 空洞探测问题（东北电力学院：关信）

2001年

(A) 血管的三维重建问题（浙江大学：汪国昭）

(B) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）

(C) 基金使用问题（东南大学：陈恩水）

(D) 公交车调度问题（清华大学：谭泽光）

2002年

(A) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）

(B) **中的数学问题（解放军信息工程大学：韩中庚）

(C) 车灯线光源的优化设计问题（复旦大学:谭永基，华东理工大学：俞文此）

(D) 赛程安排问题（清华大学：姜启源）

2003年

(A) SARS的传播问题（组委会）

(B) 露天矿生产的车辆安排问题（吉林大学：方沛辰）

(C) SARS的传播问题（组委会）

(D) 抢渡长江问题（华中农业大学：殷建肃）

2004年

(A) 奥运会临时超市网点设计问题(北京工业大学：孟大志)

(B) 电力市场的输电阻塞管理问题(浙江大学:刘康生)

(C) 酒后开车问题（清华大学：姜启源）

(D) 招聘公务员问题（解放军信息工程大学：韩中庚）

2005年

(A) 长江水质的评价和预测问题（解放军信息工程大学：韩中庚）

(B) DVD在线租赁问题(清华大学：谢金星等)

(C) 雨量预报方法的评价问题(复旦大学:谭永基)

(D) DVD在线租赁问题(清华大学：谢金星等)

2006年

(A) 出版社的配置问题(北京工业大学：孟大志)

(B) 艾滋病疗法的评价及疗效的预测问题（天津大学：边馥萍）

(C) 易拉罐的优化设计问题（北京理工大学：叶其孝）

(D) 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（解放军信息工程大学：韩中庚）

2007年

(A) 中国人口增长预测

(B) 乘公交，看奥运

(C) 手机“套餐”优惠几何

(D) 体能测试时间安排

2008年

（A）数码相机定位，

（B）高等教育学费标准探讨，

（C）地面搜索，

（D）NBA赛程的分析与评价

2009年

（A）制动器试验台的控制方法分析

（B）眼科病床的合理安排

（C）卫星和飞船的跟踪测控

（D）会议筹备

2010年

（A）储油罐的变位识别与罐容表标定

（B）2010年上海世博会影响力的定量评估

（C）输油管的布置

（D）对学生宿舍设计方案的评价

2011年

（A）城市表层土壤重金属污染分析

（B）交巡警服务平台的设置与调度

（C）企业退休职工养老金制度的改革

（D）天然肠衣搭配问题

2012年

（A）葡萄酒的评价

（B）太阳能小屋的设计

（C）脑卒中发病环境因素分析及干预

（D）机器人避障问题

2013年

（A）车道被占用对城市道路通行能力的影响

（B）碎纸片的拼接复原

（C）古塔的变型

（D）公共自行车服务系统

2014年

（A）嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略

（B）创意平板折叠桌

（C）生猪养殖场的经营管理

（D）储药柜的设计

2015年

（A）太阳影子定位

（B）“互联网+”时代的出租车配置

（C）月上柳梢头

（D）众筹筑屋规划方案设计

建模好处

1. 培养创新意识和创造能力

2．训练快速获取信息和资料的能力

3．锻炼快速了解和掌握新知识的技能

4．培养团队合作意识和团队合作精神

5．增强写作技能和排版技术

6．荣获国家级奖励有利于保送研究生

7．荣获国际级奖励有利于申请出国留学

8．更重要的是训练人的逻辑思维和开放性思考方式

数学建模模拟多种情况

通过将车流量的增大或减小转化为路长权重的变化。将交通流量的动态问题转化为静态问题，用解决最短路问题的Dijkstra 方法，给出交通流量实时最优控制的可行性模型及其有效算法。

关键词：交通流, 实时最优控制, 道路加权, Dijkstra 方法

随着国民经济的持续、高速发展，各种机动车尤其是私家车拥有量急剧增加带来了交通运输业的空前繁荣。但是，大多数城市的交通已从过去的局部拥挤演变成为当今的大范围全面紧张，如我国的一个大城市，当处于早晚交通高峰时，交叉路口处的阻车长度长达1000多米，有的阻车车队从一个交叉路口延伸到另一个交叉路口，这时一辆车为通过一个交叉路口，往往需要半个小时以上，还不如步行快，这给城市交通带来了难以承受的负荷。拥挤不仅带来时间的浪费，还导致公交系统运行的无规则性，如公交汽车不能按时到站等，使人们对自己的旅行时间无法估计，耽误工作和等。这种紧张状况日趋严重，已成为大城市突出的社会问题之一，也成为国民经济进一步发展的“瓶颈”问题。因此，必须面对现实，解决城市的交通拥挤，堵塞问题。

那么城市交通拥挤、堵塞原因何在呢？分析如下：

（一）、现行交通信号控制方法中交通信号与交通流量不适应。目前，各城市交叉路口使用最为广泛的是单点定周期控制方式。这种控制方式存在的问题有以下几个方面：

1. 对交通流的随机变化无适应能力。由于是定周期方法，因此一旦周期时间和绿信比选定之后，一般就不再经常改动。而交通网络中车流、人流的变化是随机的、经常的，各个周期中交叉路口同一方向上通过的流量可能差异很大。不同的流量对绿灯时间有着不同的要求。所以此种控制方式给出的信号常常不能与客观实际车流的随机变化相适应。我们常常遇到这样的情况：有车辆等待通过的方向信号是红灯，而与此同时无车辆方向的信号却是绿灯，白白浪费了现有路口通行能力。为了克服这一缺点，人们考虑运用概率、统计的方法，在收集了大量交通数据的基础上，对周期时间和绿信比进行离线优化选择，使选出的周期时间和绿信比在概率意义下的合理性有很大提高。但是，这又带来了下面的问题。

2. 需要经常调节控制规律。首先是因为城市土地结构变化很快而带来的车流量变化很快。以往的数据很快便失去了实用价值。因此优化方案不在最优甚至不合理，需要重新进行数据收集，最优方案选择等工作。这一点对发展中城市更为明显。其次是同一路口 、同一方面在每星期中各天的流量是不同的，每天中高峰、平峰、低峰时交通也是不一样的，这些都要求按预先算好的时刻表、日期表调换周期时间和绿信比，局限性很大。并且交通流量的随机性越大，其缺点与明显。

3. 没有考虑各交叉路口的联系。“单点”即指各路口各自进行控制，不管邻近路口的信号灯翻转规律如何。这种各个路口互不配合、互不协调的控制方式人为地给交通流的流动设置了许多阻力。

（二）、信息流通条件极差，无法对乘客和车辆进行诱导和管理。这个问题在交通网络运行畅通的情况下并不明显，但当交通堵塞、交通事故等紧急发生时就显得非常突出。然而这些紧急却常有发生。每当这时，公共汽车调度站无法知道路上的情况，从而无法对公共汽车的线路、发车频次作恰当调整；其他车辆的司机也得不到信息无法选择较为畅通的线路；在公共汽车站等车的乘客也无法做出决策，是继续等车或是换乘其他车次或是步行等。实际上在许多情况下，只要进行恰当的诱导，道路的拥挤状况就会大大缓解或保证畅通。例如：年洛杉矶奥运会期间，由于用了大量的动态路标显示板，诱导车辆选择恰当的路线，因而，尽管车辆较平时增多很多，但网络中交通流的运行状况却比平时还好。

（三）、停车场的能力不够，位置也不当。这是多年延续下来的旧病，只修路不修停车场。比如，成都火车站东西二环路，那里的批发市场很多，但是，无合理的停车场，大多数司机将车直接停放在街道上，这样严重影响了道路的通行能力。应该将停车场向专门化，地下化发展，在宾馆，商场，机关大楼，居民大楼的地下设置社会化的停车场是解决城市交通拥挤，堵塞的一条行之有效的办法。

交通运输是一个复杂的大系统，这个系统必须在严格科学的制度下运行，它不是一个自适应系统，任何违反规章制度的行为都可能导致大系统的局部、甚至“整体”的瘫痪。

交通拥挤和堵塞对策从总体上可分为三大类：

（1） 加强道路建设，以提高交通网络的交通容量；

（2） 加强交通运用与管理以充分发挥现有道路设施的作用，使得交通网络的使用效率最大；

（3） 全面实施交通需求管理以使交通需求在时间、空间上均匀化，交通结构合理化。由于交通基础设施建设工期长，耗资大，在当前资金有限的条件下，解决特定的城市交通问题时，必须事先进行对策的效果分析。

如前所述，要想比较有效的解决城市的交通拥挤，堵塞问题不能单纯的只依靠增加道路面积和长度，而要不断的完善路网系统，调整路网结构和加强交通管理的现代化，以及对单个车辆的控制及引导。首先就交通流量的静态情形是一种理想状态，既设在一个城市街区内车流速度一定，对单个车辆的控制及引导进行研究分析，给出调控标准。

交通道路网的拓扑性质可以用图论的基本原理来分析。图由“弧”和“顶点”两部分组成，交通道路网的拓扑模型可以抽象认为是由节点（交叉路口）以及弧（道路）组成的有向图。边的方向就是车流的方向。由于道路和交叉路口都有很多属性，这样就可以把始发地和目的地之间的区域交通网抽象成了多属性赋权有向图。

设：

1. 所有道路一样宽；

2. 每一条道路都不需停车等待；

3. 车流速度恒定；

4. 道路长已知。

5. 从 点到 点所用时间仅与路长有关。

不考虑意外事故对交通的影响。车子所在地设为 点，目的地设为 点。于是车子所要走的路线就可以用P来表述。

： , 两点间距离

v：车流速度

t：从始发地 到目的地 的时间

：P中所有弧长之和

表示道路状况的权重

表示车流速度改变而赋给道路的权重

表示

模型建立

由于设车速恒定，由 可知，要求从始发地 到目的地 用时最短就可以转化为求道路最短。此时问题可以用以下数学模型描述:

（ * ）

我们将城市道路网描述为一赋权有向图D=(V,U)对每一条有向边 ∈U都存在一l 与这对应，其表示道路两结点间的距离，称之为有向边 的权。

＝

模型的求解

在赋权有向图中，我们选定某个起点 ，终点 .用迪克特拉（E.W.Dijkstra）算法。Dijkstra方法的基本思想是从 出发，逐步地向外探寻最短路。执行过程中，与每一个点对应，记录下一个数（称为这个点的标号），它或者表示从 到该点的最短路的权（称为P标号）、或者是从 到该点的最短路的权的上界（称为T标号），方法的每一步是去修改T标号，并且把某一个具T标号的点改变为具P标号的点，从而使D中具P标号的顶点数多一个，这样，至多经过p-1步，就可以求出从 到各点的最短路。

对静态的交通加权最短路问题进行了数学建模，但是实际状态中，还有许多因素影响交通运行时间，譬如道路宽度不尽相同，会使车辆流率不同（车流量的大小用车流率表示，车流率是道路上某点单位时间内到达或离开的车辆数，简称流率）；时段高峰期，会造成某一路段在某一时段交通拥挤甚至阻塞，从而使得车流速度降低等，也就是只从静态考虑了实际问题。这一些个因素没有考虑进去，按照理想模型来分析，会导致估计结果粗糙从而失真，不能有效地对单个车辆进行引导控制。于是我们在前面设的基础上再进行模型的修改：当流量处于动态变化时，把道路宽度，交通阻塞等因素考虑进去。这样一来定点路段上的车行最短时间的问题上比静态情形复杂很多，我们用因素转化法，将多因素变量转化为单因素变量来建立优化模型。

首先我们可以利用自动的交通检测装置来测量交通网络中各个不同部分的交通流状态，再通过一些电讯设备将这些检测到的信息送到控制中心或电台等，这样就可以知道某一时刻的各个路段的交通状况，从而为我们对司机的行车进行引导提供了信息。

由于加入了影响因素，车流速度随着高峰期拥堵而在一个时间段有所改变。由 知，求用时最短的方案必然有所改变。但是我们可以将车速改变转化为路长改变，即对道路加权改为随时间变化的函数，如速度增大则道路权为正小数，速度减小则把权设为正整数，使得要求用时最短仍能转变成求道路最短。

刚才考虑了车流速度改变的情况，现在来看看交通状况改变，譬如发生交通意外而使道路瘫痪不能行车，或是时段高峰期使得交通拥挤等。这时我们仍可以在一个时间段对道路加权来使问题转变成静态模型，即求道路最短模型。道路的权重可以通过经验给出。当道路不能畅通无阻时，我们设其权重为大于1的正整数，反之设为1。

仍同初始交通加权最短路问题一样，可将始发地和目的地之间的区域交通网抽象成多属性赋权有向图。

由自动的交通检测装置反馈来的数据信息，我们可以给一条道路赋予一定的权重，根据情况程度决定具体权重。

当道路因各种原因使得车流速度受到影响时，我们可以把权重 取值范围设定为〔1，∞），其中 =∞ 表示道路严重阻塞，车辆不能通行； =1 表示车流速度不受影响，可以自由行驶。车流速度改变后，我们可以把权重 的取值范围设定为（0，∞），当 时，表示车流速度增大； 时，表示车流速度减小； =1时，则表示与初始速度相比没有改变。

由以上所述，我们可以把模型建立为

（ ** ）

虽然每一时刻道路状况，车流速度不尽相同，但是经过转换，形成以上模型，就只是参数变化而已，如此一来仍然可以用初始最短路问题的模型求解，这样就大大简化了问题。

在下述Dijkstra方法具体求解步骤中，用P,T分别表示某个点的P标号、T标号， 表示第i步时，具P标号点的集合。为了在求出从 到各点的距离的同时，也求出从 到各点的最短路，给每个点 以一个 值，算法终止时，如果 ，表示在从 到 的最短路上， 的前一个点是 ；如果 ，则表示D中不含从 到 的路； 表示 = 。其中M表示无穷大的数。

模型检验与实用性研究

前面给出了一般性的优化模型，现在我们举个例子对模型进行计算。

如图所示，这是一个单行线交通网，车辆以速度v行驶，每弧旁的数字表示两点间相对距离。现在某出租车要从 出发，通过这个交通网到 去，求所用时间最短的路线。

图5-1

由 可知，若速度等因素没有改变时，根据模型（ * ），用Dijkstra算法直接求解，得从 到 的最短路是 。

设，此时速度或道路状况改变，则根据模型（ ** ）我们可以得：

不妨设此时车已开向 ，并且车速变为2v（ =0.5）， 到 的路上由于上班高峰期造成了阻塞( =5)， 到 的道路由于不是主干道车流较之前减少畅通率提高 ( =0.6)，其他道路状况没有改变( =1)。此时根据模型（ ** ）：

可求得从 到 用时间最短路线为

实用性研究

优化后的模型，对于实际交通流量控制有着较好的导控作用。在运用此模型时，可通过三个设备获取数据，实现可行性。第一个是车辆设备，二是路边设备，三是控制中心。

车辆设备包括：

⑴ 接收由驾驶员输入数据的操作键盘；

⑵ 从路旁通讯设备接收数据和向该设备发送数据的收发部件；

⑶ 能提供从路旁通讯设备接收到的数据的现实控制板；

⑷ 接收来自路边或中心广播设备传送来的信息的接口。

路边设备包括：

⑴ 记录从中心处理设备传来的数据的路边通讯设备，以及通过嵌入路面的环形线圈和车辆天线与单个车辆进行双向通讯。

⑵ 直接用电缆线来连接中心控制与路边广播设备，再进行车辆通讯。⑶ 自动的交通检测装置，可测量车辆速度以及检测道路状况。

这样，司机把一个他所希望的终点站代码输入到安装在车内的键盘，一旦车辆接近确定的地点时，车上的微型计算机通过车辆天线和一个嵌入路面的回路线圈向路边微机设备传送存贮的代码数据，此微机再将代码数据反馈回控制中心，控制中心利用本文优化模型及给出的算法进行求解，得出合理的行驶路线，经由路边设备反馈给车上的微型计算机，司机通过显示器可以获取最短路线。

由于交通不是单个车辆的，而是众多车辆参与在内的运行，因此交通状况时刻可能改变，这将影响单个车辆行驶路线的改变。本文的导控考虑到此种情况，将导控分时间段进行：

表5-1

低谷期

5:00-

7:30 高峰期

7:30-

9:00 中间期

9:00-

12:00 高峰期

12:00-

13:00 中间期

13:00-

17:30- 高峰期

17:30-

19:00 低谷期

19:00-

23:00

在低谷期内的反馈周期为30分钟，中间期为15分钟，而高峰期则为5分钟一次，因为高峰期道路状况改变快，因此反馈给司机的数据间隔也不能太长。这样就使得本文的模型更具可行性。

数学建模竞赛的目录

一． 数学的重要性：

学了这么多年的书，感觉最有用的就是数学课了，相信还是有很多人和我一样的想法的

大家回想一下：有什么课自始至终都用到？我想了一下只有数学了，当然还有英语。

特别到了大学，学信号处理和通信方面的课时，更是感到了数学课的重要性。

计算机：

数据结构，编程算法....哪个不需要数学知识和思想。

有这样的说法，数学系的人学计

算机才是最牛的。

信号与系统：这个变换那个变换的。

通信：此编码彼编码的。

数字图

像与模式识别：这个概率论和数理统计到处都是。

线性代数和矩阵论也是经常出现。

二． 数学的学习方法：

最重要的是遇到问题首先不畏惧，然后知道类似的问题别人是如何处理，我们是否可以

借鉴，然后再比较我们的问题和已有的问题有何异同，已有的方法有什么不足，我们应

从哪里着手考虑新方法。

思考路线比具体推导更重要。

数学并非说得越玄乎越显水平。

真正的理解在于抓住实质，"如果你还觉得某个东西很难、很繁、很难记住，说明你还沉

迷于细节，没有抓住实质，抓住了实质，一切都是简单的。

"这是概率之父Kolmogorov的

名言。

我们平时在学习数学时，也时刻问自己，能不能向一个外行讲清楚这是怎么回事

，如果不能，说明我们自己还没有真正理解。

数学推导的功夫应该是在课下通过大量的

练习得到的，在课下花的时间要远大于课上的时间。

三． 数学软件介绍：

在当今30多个数学类（为区别于文字处理和作图类而加的修饰词）科技应用软件中，就

软件数学处理的原始内核而言，可分为两大类。

一类是数值计算（Number Crunching）

）型软件，如Matlab， Xmath，MLAB等。

这类软件对大批数据具有较强的管理、计算和

可视化能力，运行效率高。

另一类是数学分析（Math Analysis）型软件，如Mathemati

ca、Maple，Macsyma等。

它们以符号计算见长，并可得到解析符号解和任意精度解，但

处理大量量数据时运行效率较低。

经过多年的国际竞争，MATLAB已经占据了数值型软件

市场的主导地位，处于其后的是Xmath;而Maple，Mathematica，Macsyma位居符号软件的

前三名（见IEEE Spectrum）。

在国际流行的科技应用软件中，Mathcad 别具特色。

该

软件的开发商Mathsoft公司一开始就把面向教学和办公作为Mathcad的市场目标。

在对待

数值计算、符号分析、文字处理、图形能力的开发商，不以专业水准为追求，而尽力集

各种功能于一体。

MathWorks公司顺应多功能需求之潮流，在其卓越数值计算和图视能力

的基础商，又率先在专业水平上开拓其符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控

制能力，精心营造适合多学科、多部门要求的新一代科技应用软件MATLAB。

对电子系同学最常用的软件而且基本上唯一使用的数学软件就是matlab了。

Matlab 5.3

版本（最新版本6.0版）完全安装，包括帮助、以及各种工具箱一共竟需要1G多硬盘空间

当然，这一个G的容量并不是被各种垃圾文件所充斥，相反的，它是由无数在Matlab系

统上运行的函数文件所占据。

由此可以看出Matlab的功能是多么的全面。

年，计算

数学家Steve Bangert、Steve Kleiman、John Little、Cleve Morer在原来 FORTRAN程

序的基础上开发了一个解决线性系统计算问题的C语言程序，他们给它起了个响亮的名字

Matlab(Matrix Laboratory)。

从此以后，Matlab系统便一发而不可收拾，成千上万的软

件工程师、计算科学家、和各种应用领域的科技工作人员加入了Matlab的开发者的行列

他们把各自科研、应用领域中的常用算法用Matlab系统提供的编程语言做成程序集，

于是就产生了Matlab的特色之一："工具箱系统"(Toolbox)。

在Matlab5.3 中大约有几十

个工具箱，其中包括通信，信号系统分析、离散信号分析、优化、偏微分方程、小波变

换、地图、财经、电力系统、神经网络，数值计算等等。

工具箱中每一个函数都是用

了该领域中最先进的高效算法，无数这样的函数文本文件组成了Matlab这个巨无霸，由

此可见，Matlab对于解决工程问题是极其具有优越性的。

是我们电子系学生的最爱。

上

面介绍了Matlab的主要特色之一：工具箱。

下面来谈谈它的另一个特色，就是与其他语

言和编译器之间的接口。

这个问题一直是关于Matlab的最热门的话题。

原因很简单，1.

Matlab如此全面高效的算法和功能都是建立在Matlab提供的平台上才能运行，这样限制

了这些程序的使用范围，即如果想应用这些程序，你首先必需在你的计算机上安装一个

多达几百兆的Matlab，给使用带来了不便。

另外，由于Matlab用的是逐行解释的方式

来执行代码，因此运行速度比编译为exe 的二进制文件要慢，因此，利用编译器，把m文

件变为二进制的exe或dll文件，会大大缩短计算时间. 尽管Matlab是一个完善的系统，

但毕竟术业有专攻，各种语言的可视化编程环境(如VC，C++Builder，Delphi等)在用户

界面设计和其他系统功能方面具有Matlab不能比拟的快捷和高效，因此，如何把Matlab

强大的数值计算功能与可视编程集成环境IDE结合起来，开发用户操作方便、计算功能完

备、运行快捷的应用程序便成为程序开发者的最大愿望。

Matlab中包含了大量的矩阵运

算、数值运算函数、图形操作函数、用户图形界面函数等等，用他可以象C语言一样书写

函数流程，而且开发WIN图形界面的用户程序。

Matlab强大的功能、方便的操作给它赢得

了世界上最流行的数学软件的桂冠。

难怪在网上大家奔走相告"出国前一定要把Matlab学

好"。

四． 其他数学软件简介（也算开开眼界尽管基本上不用（除了第一个外））：

1． Mat：Mat是MathTools开发的一个m文件解释器（即将Matlab中的编程语

言解

释为C语言），不仅可以把m文件编译为可以独立执行的exe或dll文件，而且可以自动产

生C源代码，供其他高级语言编译器使用。

Mat所实现的在C语言中直接书写类似于ma

tlab语句的功能，带来了以下几个明显的优点：一，是利用Mat编制的程序可以在任

何不安装 Matlab系统的计算机上运行; 二是运行速度比m文件快了数倍；三是实现了Ma

tlab强大的计算功能与各种C编译器界面设计 的完美组合。

我现在最喜欢用的就是在vc

上作界面来方便用户操作，用Mat库实现算法计算，这样相得益彰，用这种方法编成

的程序，操作方便简洁，计算图形功能强大，速度快。

2． Mathmatica：最令人着迷的是它的完美的符号运算功能。

所谓符号运算是指它

所处

理的对象不仅仅是常见的数字（如12或3.14），而是一些带有代数符号的表达式，我们

在代数中曾经学过运用代数的运算规则，对一个含有符号的表达式进行恒等变换，一个

函数就是一种规则或者说映射，比如定义如下一个规则，我们就可以运用这法则将下式

变换。

而Mathematica正是具有这种类似人类思维的功能，它能不断学会并记忆各种变化

规则，并把这些各式各样的变化应用到各种表达式上，无论形式多么复杂，总能得到我

们想得到的带有代数符号的结果。

而在C语言或其他编程语言中，对于一个符号，必须先

声明，然后赋值才能使用。

因此它所表达的含意是有限的，而Mathematica完全抛开了这

种限制，一个符号可以表示任意对象，没有类型限制，真正实现了"代数"中的"代"字。

Mathematica象一个不知疲倦的公式推导家，它能在一秒钟之内将一个复杂的函数关系复

合上万次，它能在各种复杂表达式形式中找到最简单的。

Mathematica对于大一、大二的

同学可能是一个福音，对于大家在高等数学、线性代数中常碰到的对表达式求极限、微

分、定积分、不定积分、级数、向量代数等内容在Mathematica都有内部函数来直接计算

结果。

当然，希望大家还是自己动手练一练公式推导的基本功，把Mathematica当作一个

检验工具是无可厚非。

Mathematica4.0中， 系统函数涵盖了微积分、线性代数、概率、

几何、图论、组合数学、数论数学、特殊函数等绝大多数常用数学分支。

3． Mathcad 8.0，Maple 5： 著名的符号运算数学软件，与Mathematica 类似，内

存管

理较好，SAS 6.12 统计学专业软件，压缩文件100多M（最权威的统计软件）。

4． 其他：SPSS 8.0 社会科学统计软件包；Lindo/Lingo 50线性、非线性规划软件

；A

nsys 5.4 权威的有限元法（FEM）计算软件，安装文件约200~300M ；Algo 有限元法软

件包；Statistics 统计软件 ；Datafit 数值拟合专业软件 ；Origin 6.0 微软的数据

分析绘图软件，可以与Excel数据库通讯；Netlib 网络并行计算库 ；Isoft 电磁仿真软

件 ；Auto 非线性动力系统计算软件 ；Flexpde 2.10 求解偏微分方程的数值软件；Te

cplot 8.0流速与值线流体力学 ；RATS 数值分析软件。

一、是数学建模竞赛

数学建模竞赛就是这样。

它名曰数学，当然要用到数学知识，但却与以往所说的那种数

学竞赛(那种纯数学竞赛)不同。

它要用到计算机，甚至离不开计算机，但却不是纯粹的

计算机竞赛，它涉及物理，化学，生物，电子，农业，管理等各学科，各领域的知识，

但也不是这些学科领域里的纯知识竞赛。

它涉及各学科，各领域，但又不受任何一个具

体的学科，领域的局限。

它要用到各方面的综合的知识，但还不限此。

选手们不只是要

有各方面的知识，还要有驾域这些知识，应用这些知识处理实际问题的能力。

知识是无

止境的，你还必须有善于获得新的知识的能力。

总之，数学建模竞赛，即要比赛各方面

的综合知识，也比赛各方面的综合能力。

它的特点就是综合，它的优点也是综合。

在这

个意义上看，它与任何一个学科领域内的知识竞赛都不相同的特点就是不纯，它的优点

也就是不纯，综合就是不纯。

纯数学竞赛，如中学生的国际数学奥林匹克竞赛，或美国

大学生的普特南数学竞赛，已经有很长的历史，也为大家所熟悉。

特别是近若干年来我

国选手在国际数学奥林匹克竞赛中年年取得好成绩，更使这项竞赛在我国有很高的知名

度，在全国各地的质量教高的中学中广泛开展。

纯数学竞赛主要考核选手对数学基础知

识的掌握情况逻辑推理及证明的能力和技巧思维是否敏捷，计算能力的强弱等。

试题都

是纯数学问题，考试方式是闭卷考试。

参赛学生在规定的时间(一般每次为三小时)内独

立做题，不准交头接耳相互讨论，不准看任何书籍和参考资料，不准用计算机(器) 。

考

题都有标准答案。

当然，选手的解答方法可以与标准答案不同，但其解答方法的正确与

否也是绝对的，特别是计算题的得数一定要与标准答案相同。

考试结果，对每个选手的

答案给出分数，按分数高低来判定优劣。

尽管也要对参赛的团体(代表一个国家，地区

或学校)计算团体总分，但这个团体总分也是将每个团体的选手得分加起来得到的，在比

赛过程中同一团体的选手们绝对不能互相帮助。

因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛

而不相帮助。

因此，这样的竞赛从本质上说是个人赛而不是团体赛。

团体要获胜主要靠

每名选手个自的水平高低而不存在互相配合的问题(当然在训练过程中可以互相帮助)。

这样的竞赛，对于吸引青年人热爱数学从而走上数学研究的道路，对于培养数学家和数

学专门人才，起了很大的作用。

随着社会的发展，数学在社会各领域中的应用越来越广泛，作用越来越大，不但运用于

自然科学各个领域，各学科，而且渗透到经济，军事，管理以至于社会科学和社会活动

的各个领域。

但是，社会对数学的需求并不只是需要在各部门中从事实际工作的人善于

运用数学知识及数学大思维放法来解决他们每天面临的大量的实际问题，取得经济效益

和社会效益。

他们不是为了应用数学知识而寻找实际问题(就象在学校里做数学应用题)

，而是为了解决实际问题而需要用到数学。

而且不止是要用到数学，很可能还要用到别

的学科，领域的知识，要用到工作经验和常识。

特别是在现代社会，要真正解决一个实

际问题几乎都离不开计算机。

可以这样说，在实际工作中遇到的问题，完全纯粹的只用

现成的数学知识就能解决的问题几乎是没有的。

你所能遇到的都是数学和其他东西混杂

在一起的问题，不是"干净的"数学，而是"脏"的数学。

其中的数学奥妙不是明摆在那里

等着你去解决，而是暗藏在深处等着你去发现。

也就是说，你要对复杂的问题进行分析

，发现其中的可用数学语来描述的关系或规律，把这个实际问题化成一个数学问题，这

就称为数学模型，建立数学模型的这个过程就称为数学建模。

模型这个词对我们来说并

不陌生，它可以说是对某种事物的一种仿制品。

比如飞机模型，就是模仿飞机造出来的

既然是仿造，就不是真的，只能是"冒"，但不能是"伪劣"，必须真实地反映所模仿

的对象的某一方面的属性。

如果只是模仿飞机的模样，这样的飞机模型只要看起像飞机

就行了，可以摆在展览馆供人参观，照相，但不能飞。

如果要模仿飞机的飞行原理，就

得造一个能飞起来的飞机模型，比如航空模型比赛的作品，它在空气中的飞行原理与飞

机有相同之处。

但当然不像飞机那样靠烧燃料来飞行，外观上也不必那么像飞机，可见

，模型所模仿的都只是真实事物的某一方面的属性。

而数学模型，就是用数学语言(可能

包括数学公式)去描述和模仿实际问题中的数量关系，空间形式等。

这种模仿当然是近似

的，但又要尽可能的逼真。

实际问题中的许多因素，在建立数学模型时你不可能，也没

有必要把它们毫无遗漏地全部加以考虑，只能考虑其中的最主要的因素，舍弃其中的次

要因素，数学模型建立起来后，实际问题化成数学问题，就可以用数学工具，数学方法

去解答。

如果有现成的数学工具当然好。

如果没有现成的数学工具，就促使数学家们(也

包括建立数学模型的人)寻找和发展出新的数学工具去解决它，这又推动了数学本身的发

展。

例如，开普勒由行星运动的观测数据总结出开普勒三定理(这就是行星运行的数学模

型)，牛顿试图用自己发现的力学定理去解释它，但当时的数学工具是不够用的，这使了

微积分的发明。

求解数学模型，除了用到数学推理以外，通常还要处理大量数据，进行

大量计算。

这在电子计算机发明之前是很难实现的。

因此，很多数学模型，尽管从数学

理论上解决了，但由于计算量太大而没法得到有用的结果，还是只有束之高阁。

而计算

机的出现和迅速发展，给用数学模型解决实际问题打开了广阔的道路。

而在现在，要真

正解决一个实际问题，离了计算机几乎是不行的。

数学模型建立起来了，也用数学方法

或数据方法求出了解答，是不是就万事大吉了呢?不是。

既然数学模型只能近似地反映实

际问题中的关系和规律，到底反应的好不好，还需要接受检验。

如果数学模型建立的不

好，如果没有正确地描述所给的实际问题，数学解答再正确也是没有用的。

因此，在得

出数学解答之后还要让所得的结论接受实际的考察，看它是否合理，是否可行。

如果不

符合实际，还应设法找出原因，修改原来的模型，重新求解和检验，直到比较合理可行

，才算是得到一个解答，可以先付诸实施，但是，十全十美的答案是没有的，已得到的

答案一定还有改进的余地，还可以根据实际情况，或者继续研究和改进;或者暂停告一段

落，待将来有新的情况和要求后再作该进。

上面所说的建立数学模型来解决问题的过程，是各行各业各个领域大量需要的，也是我

们的学生在走上工作单位后常常要做的工作。

做这样的事情，所需要的远不只是数学知

识和解数学题的能力，而需要多方面的综合能力。

社会对具备这种能力的人的需求，比

对数学专门人才的需求要多的多。

因此，在学校里就应当努力陪养和提高学生在这方面

的能力。

当然有多种形式来达到这个目的。

比如开设数学模型方面的课程;让学生多接触

实际工作，得到锻炼，获得知识及其他各方面的能力)去参与解决问题的全过程。

这些实

际问题并不限于某一方面，可以涉及非常广泛的，并不固定的范围。

这样来促进应用人

才的培养。

二、数学模型的基础

1． 数学模型的定义

现在数学模型还没有一个统一的准确的定义，因为站在不同: 的角度可以有不同的定义

不过我们可以给出如下定义。

: "数学模型是关于部分现实世界和为一种特殊目的而作

的一个抽象的、简化的结构。

" : 具体来说，数学模型就是为了某种目的，用字母、数

学及其它:数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、图象、框图等描述客观事物的特

征及其内在联系的数学结构表达式。

2．建立数学模型的方法和步骤

第一、 模型准备 (问题的提出与分析)

首先要了解问题的实际背景，明确建模目的，搜集必需的各种信息，尽量弄清对象的特

征。

第二、 模型设与符号说明

根据对象的特征和建模目的，对问题进行必要的、合理的简化，用精确的语言作出设

，是建模至关重要的一步。

如果对问题的所有因素一概考虑，无疑是一种有勇气但方法

欠佳的行为，: 所以高超的建模者能充分发挥想象力、洞察力和判断力 ，善于辨别主次

，而且为了使处理方法简单，应尽量使问题线性化、均匀化。

第三、 模型的建立与求解

通过对问题的分析和模型设后建立数学模型（模型运用数学符号和数学语言来描述）

，并过设计算法、运用计算机实现等途径（根据模型的特征和要求确定）求解模型！此

过程是整：个数模过程的最重要部分，需慎重对待！

第四、 型的检验

即通过问题所提供的数据或相对于实际生活中的情况对模型的合理性、准确性等进行判

别模型的优劣！可通过计算机模拟等手段来完成！

第五、 模型的完善与推广

此步骤可根据建模时具体情况而定！

关于建模的步骤并不一定必须按照以上几步进行，有兴趣的同仁可参考建模的相关书籍

三、数学建模

参考资料：

1、《数学模型基础》 王树禾 中国科学技术大学出版社 1996

2、《数学模型》 谭永基，俞文 复旦大学出版社 19

3、《数学建模竞赛教程》 李尚志 江苏教育出版社 1996

这些书均可在图书馆借到或在九章书店买到。

其他方面的书也很多，有足够时间可以去

翻翻。

全国大学生数学建模竞赛的有关信息，可在Inter上中国工业与应用数学学业

会 （CSIAM）的主页内浏览，网址为：csiam.edu/。

数学建模比赛每年

的9月下旬举行，每年6月份报名，三人组成一个参赛队。

欲参加比赛的同学应该到数学

系旁听数学模型课或者选修公共选修课"数学模型"。

《吉米多维奇数学分析习题集》

本书只适合超级大牛同学做。

图书馆有借和海淀图书城的九章数学书店有售。

《数学分析中的典型问题与方法》

裴礼文著，高教出版社。

本书可谓宝典级的圣书。

适合一般牛的同学。

图书馆不多，九

章书店有售。

《大学生数学竞赛试题解析选编》

第二版，李心灿等编，高教出版社。

凡是科协课外小组的同学要求人手一本。

里面收集

了北京市大学生数学竞赛的历年真题，比较好，对于水平中等及中等以上的同学均有意

义。

九章数学书店有售。

《高等数学复习题解与指导》

陈文灯著，上下两本，北京理工大学出版社：该书讲解十分详尽，对于各类水平的同学

均有很大的帮助。

呕血推荐！！！九章书店有售。

《数学复习指南》

理工类，陈文灯等著。

该书高数内容与上本书基本一致。

但该书还有线性代数，概率论

等部分，非常全面。

图书馆有借。

各大书店均有售。

适合所有水平的同学。

《高等数学解题过程的分析和研究》

钱昌本著。

该书主要介绍高等数学的思维方法。

例题很有启发性。

图书馆有借。

九章书

店有售。

从常微分方程开始，数学课就变成没底的东西，每一个标题做下去都是数学研究里面庞

大的一块。

对于一门基本课程应该讲些什么也始终讨论不断。

下面开始说参考书，毫无

疑问，我们还是得从我们强大的北方邻国说起。

《常微分方程讲义》

彼得罗夫斯基。

在20世纪数学史上，这位前莫斯科大学校长占据着一个非常特殊的地位

从学术上说，他在偏微那一块有非常好的工作，五十年代谷先生去苏联读学位的时候

还参加过他主持的讨论班。

他从三十年代末开始就转向行政工作。

在他早年的学生里面

有许多后来苏联的高官，所以他就利用和这些昔日学生的关系为苏联数学界构筑了一个

保护伞，他这本书在相当长的时期里是标准教材。

《常微分方程》

庞特里亚金。

庞特里亚金院士十四岁时因化学实验事故双目失明，在母亲的鼓励和帮助

下，他以惊人的毅力走上了数学道路，别的不说，光看看他给后人留下的"连续群"，"最

佳过程的数学理论"，你就不得不对他佩服得五体投地，有六体也投 下来了。

他的这本

课本就是李迅经先生他们翻译的。

此书影响过很多我们的老师辈的人物。

数学建模的方法有哪些？

第1篇 最优评卷方案及模型

第2篇 最优策略的数学模型

第3篇 合理分派与会成员的数学模型

第4篇 自动化车床的管理模型

第5篇 dna序列分类问题的数学模型

第6篇 钢管订购和运输问题的数学模型

第7篇 车灯线光源的优化设计模型

第8篇 **发行方案的优化设计模型

第9篇 **中数学问题的优化模型

第10篇 sars疫情分析与经济预测模型

第11篇 sars传播的反馈闭合系统模型

第12篇 露天矿生产的车辆调度模型

第13篇 奥运场馆周边的ms网络设计方案

第14篇 奥运会临时超市网点的优化设计模型

第15篇 输电阻塞管理问题的数学模型

第16篇 长江水质的评价和预测模型

第17篇 长江水质的评价预测与控制

第18篇 dvd在线租赁的优化模型

第19篇 dvd在线租赁方案的优化设计

附录 大学生数学建模竞赛部分赛题

这是网上copy来的，写得还不错：

要重点突破：

1 预测模块：灰色预测、时间序列预测、神经网络预测、曲线拟合（线性回归）；

2 归类判别：欧氏距离判别、fisher判别等 ；

3 图论：最短路径求法 ；

4 最优化：列方程组 用lindo 或 lingo软件解 ；

5 其他方法：层次分析法 马尔可夫链 主成分析法 等 ；

6 用到软件：matlab lindo （lingo） excel ；

7 比赛前写几篇数模论文。

这是每年参赛的赛提以及获奖作品的解法，你自己估量着吧……

赛题 解法

93A非线调的频率设计 拟合、规划

93B足球队排名 图论、层次分析、整数规划

94A逢山开路 图论、插值、动态规划

94B锁具装箱问题 图论、组合数学

95A飞行管理问题 非线性规划、线性规划

95B天车与冶炼炉的作业调度 动态规划、排队论、图论

96A最优策略 微分方程、优化

96B节水洗衣机 非线性规划

A零件的参数设计 非线性规划

B截断切割的最优排列 随机模拟、图论

98A一类投资组合问题 多目标优化、非线性规划

98B灾情巡视的最佳路线 图论、组合优化

99A自动化车床管理 随机优化、计算机模拟

99B钻井布局 0-1规划、图论

00A DNA序列分类 模式识别、Fisher判别、人工神经网络

00B钢管订购和运输 组合优化、运输问题

01A血管三维重建 曲线拟合、曲面重建

01B 工交车调度问题 多目标规划

02A车灯线光源的优化 非线性规划

02B**问题 单目标决策

03A SARS的传播 微分方程、差分方程

03B 露天矿生产的车辆安排 整数规划、运输问题

04A奥运会临时超市网点设计 统计分析、数据处理、优化

04B电力市场的输电阻塞管理 数据拟合、优化

05A长江水质的评价和预测 预测评价、数据处理

05B DVD在线租赁 随机规划、整数规划

算法的设计的好坏将直接影响运算速度的快慢，建议多用数学软件（

Mathematice,Matlab,Maple, Mathcad,Lindo,Lingo,SAS 等），这里提供十种数学

建模常用算法，仅供参考：

1、 算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决

问题的算法，同时可以通过模拟可以来检验自己模型的正确性，是比赛时必

用的方法）

2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数

据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab 作为工具）

3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多

数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通

常使用Lindo、Lingo 软件实现）

4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算

法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）

5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法（这些算法是算

法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）

6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些

问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，

但是算法的实现比较困难，需慎重使用）

7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很

多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种

暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）

8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计

算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替

积分等思想是非常重要的）

9、数值分析算法（如果在比赛中用高级语言进行编程的话，那一些数值分

析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编

写库函数进行调用）

10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文

中也应该要不乏的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问

题，通常使用Matlab 进行处理）